Unidad 2: Cinemática de Robots
2.2 Movimiento rígido y transformaciones homogéneas
Matriz Anti simétrica
Una matriz anti simétrica es una matriz cuadrada cuya traspuesta es igual a la negativa de la matriz.
Para que se cumpla la condición de matriz anti simétrica, estas siempre deben tener un mismo tipo de estructura: los números de la diagonal principal son todos iguales a cero y el elemento de la fila i y la columna j es el negativo del elemento de la fila j y la columna i. Es decir, la forma de las matrices anti simétricas es la siguiente:
Podemos ver como en ambos lados de la diagonal principal aparecen los mismos elementos, pero con la particularidad de que los elementos por debajo de la diagonal principal tienen un signo negativo delante. Además, la diagonal principal está compuesta por ceros.
Por lo tanto, la diagonal principal de una matriz anti simétrica hace de eje de anti simétrica. De aquí viene el nombre de esta matriz tan peculiar.
Las características de las matrices anti simétricas son las siguientes:
· La suma (o resta) de dos matrices anti simétricas da como resultado otra matriz anti simétrica. Ya que la transposición dos matrices sumadas (o restadas) es equivalente a transponer cada matriz por separado:
· Cualquier matriz anti simétrica multiplicada por un escalar también da lugar a otra matriz anti simétrica.
· La potencia de una matriz anti simétrica es equivalente a una matriz anti simétrica o una matriz simétrica. Si el exponente es un número par el resultado de la potencia es una matriz simétrica, pero si el exponente es un número impar el resultado de la potenciación es una matriz anti simétrica. Puedes consultar en este enlace qué es una matriz simétrica.
· La traza de una matriz anti simétrica siempre es igual a cero.
· La suma de cualquier matriz anti simétrica más la matriz unidad da lugar a una matriz invertible.
· Todos los valores propios (o autovalores) reales de una matriz anti simétrica son 0. Sin embargo, una matriz anti simétrica también puede tener valores propios complejos.
· Todas las matrices anti simétricas son matrices normales. Por lo tanto, están sujetas al teorema espectral, que dice que se puede diagonalizar una matriz anti simétrica mediante una matriz unitaria.
Propiedad
La matriz traspuesta de una matriz anti simétrica es igual a la matriz anti simétrica multiplicada por (-1).
En otras palabras, sería como añadir un signo negativo delante de la matriz anti simétrica.
Matemáticamente
Podemos ver que con ambos procedimientos llegamos al mismo resultado: haciendo la matriz traspuesta o multiplicando por (-1) a la matriz anti simétrica.
Matriz Transformación Homogénea
En 1969 Forest introduce las coordenadas homogéneas y la matriz de transformación homogénea para resolver diferentes problemas de gráficos por computador a través de operaciones con matrices.
La matriz de transformación homogénea consta de una matriz de rotación 3x3 y una matriz de translación 3x1, una matriz de perspectiva 1x3 y un escalar unitario 1x1.
Sea t una matriz de transformación homogénea, igual a:
Donde la perspectiva se considera como una matriz nula y el escalar unitario será 1, de la siguiente forma:
Las coordenadas homogéneas en un espacio n-dimensional son n+1.
En 3D un punto p(x,y,z) en coordenadas homogéneas es: p(wx,wy,wz,w) donde w es un factor de escala (se considera w=1).
Matriz de transformación homogénea. Representación de la posición y orientación de forma conjunta de un sistema de coordenadas.
La matriz de transformación permite localizar un sistema O respecto a otro M. En ocasiones interesa conocer la relación inversa, es decir, conocer la localización de M respecto a O, lo que se corresponderá con la matriz de transformación inversa a la primera.
A fin de simplificar y reducir espacio en un control automático de computador se pueden representar las rotaciones y translaciones de sistemas coordenados o vectores en una sola matriz que contenga la información de los movimientos que se requieran, esta matriz se llama Matriz de transformación Homogénea.
Una matriz de transformación homogénea se puede interpretar o aplicar de 3 formas diferentes:
1. Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O´UVW con respecto a un sistema de referencia OXYZ.
2. Transformar un vector representado en el sistema O´UVW de coordenadas r(uvw) y expresarlo en el sistema OXYZ con coordenadas r(xyz) de la forma
3. Rotas y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ, de la forma:
Las matrices homogéneas pueden emplearse para:
• Para transformar un vector expresado con respecto a OXYZ (sistema transformado) a su expresión en MXYZ (sistema original).
· Localización de un sistema de referencia con respecto a otro.
· Descripción del movimiento de un objeto o sistema de referencia de una localización inicial M a otra final M’.
· Localización de un sistema O’ respecto a otro M tras un movimiento de O
· Se pueden considerar tres traslaciones básicas sobre cada uno de los ejes principales de un sistema de referencia.
Translación compuesta
El orden en que se efectúan las operaciones básicas de traslación entre sí, no afecta al resultado de la traslación total.
El sistema O`X`Y`Z` está trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx , ry , rz ) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O`X`Y`Z` son r (-2, 7, 3)
Calcular el vector r`xyz resultante de trasladar al vector rxyz (4, 4, 11) según la transformación Tras (6, -3, 8)
Traslación
Rotación respecto al eje x
Rotación respecto al eje y
Rotación respecto al eje z
COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES
La composición de transformaciones, al estar representadas por matrices, supone que el orden en que se aplica cada una de las transformaciones básicas que la componen es relevante, puesto que el producto de matrices no es conmutativo.
Translación
Si se desea trasladar el sistema OXYZ hasta el sistema OUVW que se encuentra a una 
la matriz homogénea se definirá de la siguiente forma:
Denominada matriz básica de traslación.
Rotación
Si se desea rotar el sistema OXYZ entorno a uno de sus ejes, resultando en un nuevo sistema OUVW la matriz T se definirá de tres formas diferentes cada una representando la rotación en torno a uno de sus ejes.
En la siguiente imagen se muestra un sistema de coordenadas en el cual tenemos representado mediante vectores y puntos, un brazo robot de dos eslabones.
Utilizando los datos de la imagen se buscará, mediante transformaciones homogéneas determinar la posición del efector final(punto C).
Datos:
Los eslabones están representados por los vectores f(color rojo) y g(color amarillo), los cuales tienen de longitud 5.39 unidades y 4 unidades respectivamente.
El eje X está representado en color rojo, el Y en verde y el Z en azul.
Los ángulos de interés son A=56.67,B=47.97 y C=42.03.Estos datos, en un brazo robot real, estarían dados por los sensores(ej.potenciométros) posicionados en cada articulación del robot.
(Se recomienda utilizar audífonos o parlantes externos)
2.3 Representación de Denavit-Hartenberg
En 1955 Denavit y Hartenberg propusieron un método matricial que permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas. La representación de Denavit-Hartenberg (D-H) establece que seleccionándose adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón.
Reduciéndose al siguiente patrón de transformaciones que permiten relacionar el sistema de referencia del elemento i con respecto al sistema del elemento i-1:
Rotación alrededor del eje Zi-1 un ángulo θi.
Traslación a lo largo de Zi-1 una distancia di.
Traslación a lo largo de Xi una distancia ai.
Rotación alrededor del eje Xi un ángulo αi.
Desarrollando la expresión:
Obtenemos la expresión general de DH, donde θi , di , ai , αi son los parámetros DH del eslabón i:
Para que la matriz Ai i-1 relacione los sistemas coordenados Oi y Oi-1 es necesario que los sistemas coordenados se determinen mediante los siguientes pasos:
1. Numerar y etiquetar el eslabón fijo (base) como O.
2. Numerar y etiquetar los eslabones móviles desde 1 hasta n eslabón móvil.
3. Localizar y numerar el eje de cada articulación y etiquetarla comenzando desde z0 hasta zn-1 . Si la articulación es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si la articulación es prismática, el eje será a lo largo del cual se produce el desplazamiento.
Establecimiento del sistema coordenado de la base:
4. Establecer el sistema coordenado de la base estableciendo el origen como O0 en cualquier punto del eje z0 . arbitrariamente establecer los ejes x0 y y0 respetando la regla de la mano derecha.
Establecimiento de los sistemas coordenados de las demás articulaciones:
5. Localizar el origen Oi:
a. En la intersección del eje zi con la línea normal común a la intersección de zi y zi-1 .b. En la intersección de zi y zi-1 , si es que zi y zi-1 se intersecan.c. En la articulación i, si zi y zi-1 son paralelos.
6. Establecer xi:
a. A lo largo de la línea normal común entre los ejes zi y zi-1 que pasan por Oi .b. En la dirección normal al plano formado por zi y zi-1 , si es que estos dos ejes se intersectan.
7. Establecer yi de acuerdo a la regla de la mano derecha.
Establecimiento de los sistemas coordenados de la herramienta:
8. Localizar el sistema coordenado n-ésimo en el extremo del robot. Si es una articulación rotacional, establecer zn a lo largo de la dirección zn-1 y establecer el origen On de la manera que más convenga a lo largo de zn , preferente en el centro de la pinza o la punta de cualquier herramienta que el robot tenga montada.
9. Establecer xn y yn de acuerdo a la regla de la mano derecha. Si la herramienta es una pinza, es común establecer el eje yn entre los “dedos” de la pinza y xn será ortonormal a zn y yn .
Obtener las matrices de transformación homogéneas
10. Crear una tabla con los parámetros D-H de los eslabones:
Donde:
θi = Es el ángulo formado por los ejes xi-1 y xi medido en un plano perpendicular a zi-1utilizando la regla de la mano derecha. Este es un parámetro variable en articulaciones rotatorias.
di = Es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen Oi-1 hasta la intersección del eje xi con el eje zi-1 . Este es un parámetro variable en articulaciones prismáticas.
ai = Para articulaciones rotatorias: es la distancia a lo largo del eje xi desde el origen Oi hasta la intersección del eje zi con el eje zi-1 . prismáticas: es la distancia más corta entre los ejes.
αi = Es el ángulo formado por los ejes zi y zi-1 medido en un plano perpendicular al eje xi utilizando la regla de la mano derecha.
11. Realizar la matriz D-H de transformación homogénea Aii-1 para cada eslabón de acuerdo a los datos de la tabla del punto anterior.
12. Obtener la matriz de transformación que relacione el sistema coordenado de la base con el sistema coordenado del extremo del robot, resultando en la posición y la orientación del sistema coordenado de la herramienta expresado en coordenadas de la base.
Dicha matriz T permite resolver completamente el problema de cinemática directo en robots manipuladores, ya que dando valores concretos a cada uno de los grados de libertad del robot, obtenemos la posición y orientación 3D de la herramienta en el extremo del brazo.
A continuación se muestra un video donde se explica de manera mas didáctica para mejor comprensión:
Ejercicio 2.5 cinemática inversa de posición
(Se recomienda utilizar audífonos o parlantes externos)
Proyecto:Temas 2.4,2.6 y 2.8.