Unidad 3:Dinámica de Robots

3.1 Importancia de la dinámica del manipulador 

La dinámica del manipulador establece las relaciones entre las fuerzas y pares aplicadas en los actuadores y el movimiento del manipulador. Estas relaciones pueden ser expresadas matemáticamente por un conjunto de ecuaciones diferenciales, comúnmente llamadas ecuaciones de movimiento (O.E.M.) para obtener el modelo dinámico de un robot manipulador industrial, varias formulaciones se han desarrollado, tales como la de Lagrange-Euler , Newton-Euler , Lagrange-Euler Recursiva , y la formulación del principio generalizado D’Alembert. 

Por lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objeto conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo. Esta relación se obtiene mediante el denominado modelo dinámico, que relaciona matemáticamente: 

1. La localización del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localización de su extremo, y sus derivadas: velocidad y aceleración. 

2. Las fuerzas pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo del robot). 

3. Los parámetros dimensiónales del robot, como longitud, masa e inercias de sus elementos. 

La obtención de este modelo para mecanismos de uno o dos grados de libertad no es excesivamente compleja, pero a medida que el número de grados de libertad aumenta, el planteamiento y obtención del modelo se complica enormemente. Por este motivo no siempre es posible obtener un modelo dinámico expresado de una forma cerrada, esto es, mediante una serie de ecuaciones, normalmente del tipo diferencial de segundo orden, cuya integración permita conocer que el movimiento surge al aplicar unas fuerzas o que fuerzas hay que aplicar para obtener un movimiento determinado.

El problema de la obtención del modelo dinámico de un robot es, por lo tanto, uno de los aspectos más complejos de la robótica, lo que ha llevado a ser obviado en numerosas ocasiones. Sin embargo, el modelo dinámico es imprescindible para conseguir los siguientes fines: 

1. Simulación del movimiento del robot. 

2. Diseño y evaluación de la estructura mecánica del robot.

3. Dimensionamiento de los actuadores. 

4. Diseño y evaluación del control dinámico del robot. 

Este último fin es evidentemente de gran importancia, pues de la calidad del control dinámico del robot depende la precisión y velocidad de sus movimientos.

Es importante hacer notar que el modelo dinámico completo de un robot debe incluir no solo la dinámica de sus elementos (barras o eslabones) sino también la propia de sus sistemas de transmisión, de los actuadores y sus equipos electrónicos de mando. Estos elementos incorporan al modelo dinámico nuevas inercias, rozamientos, saturaciones de los circuitos electrónicos, etc. aumentando aun más su complejidad, pero a su vez, un modelo más apegado a la realidad.

3.2 Ecuaciones de Euler-Lagrange

La aplicación de la mecánica de Lagrange da lugar a n ecuaciones diferenciales correspondientes a n coordenadas generalizadas. El símbolo q_i representa una coordenada generalizada (x, θ, φ, etc). Mostraremos la potencia y sencillez de la formulación de Lagrange

Si T es la energía cinética y V la potencial, entonces la lagrangiana L=T-V. La ecuación de Lagrange correspondiente a la coordenada generalizada q_i es

El pendulo simple

Supongamos que un péndulo simple de masa m y longitud l, se encuentra desviado θ de la posición de equilibrio y lleva una velocidad v=l·(dθ/dt), tangente a la trayectoria circular. La energía cinética de la partícula es

Estableciendo el nivel cero de la energía potencial en el punto de suspensión, la energía potencial de la partícula es V = -mgcosθ 

La lagrangiana L=T-V es

La ecuación del movimiento

 

Péndulo | Formulación Euler-Lagrange 

Práctica usando Matlab para simular un Péndulo simple y obtener mediante la formulación de Euler-Lagrange el torque necesario para P función de movimiento angular.

Simulación | Formulación Euler-Lagrange 

Centro de masa

Ejemplo sencillo de cálculo del centro de masa de un cuerpo con dos masas puntuales.

3.3 Formulación de Newton-Euler

El método de Newton-Euler permite obtener un conjunto de ecuaciones recursivas hacia delante de velocidad y aceleración lineal y angular las cuales están referidas a cada sistema de referencia articular. Las velocidades y aceleraciones de cada elemento se propagan hacia adelante desde el sistema de referencia de la base hasta el efector final. Las ecuaciones recursivas hacia atrás calculan los pares y fuerzas necesarios para cada articulación desde la mano (incluyendo en ella efectos de fuerzas externas), hasta el sistema de referencia de la base.

3.4 Ecuaciones de movimiento generalizadas de D’Alambert 

El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas internas de un sistema determinado:

Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema siendo: 

Pi cantidad de movimiento de la partícula i-ésima.

${\displaystyle {\mathbf{F}}_i}$

Fi fuerza resultante sobre la partícula i-ésima.

${\displaystyle \delta {\mathbf{r}}_i}$

Sri cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.

El principio de d'Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas de ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange usó este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de acción y basando todo su trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mécanique Analytique. Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:

• En primer lugar, el principio de acción estacionaria está ligado a la existencia de una función potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert.

• En segundo lugar, el principio de acción se presta a interpretaciones filosóficas y teleológicas que no le gustaban a Lagrange.

Finalmente debe señalarse que el principio de d'Alembert es particularmente útil en la mecánica de sólidos, donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio de D'Alembert, que también se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales, es ventajoso sobre el enfoque más simple de la mecánica newtoniana.

El principio de D'Alembert formalmente puede deducirse de las leyes de Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La deducción resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partículas tal que sobre la partícula i-ésima actúa una fuerza externa 

${\displaystyle {\mathbf{F}}_i}$${\displaystyle {\mathbf{F}}_i}$

más una fuerza de ligadura Ri entonces la mecánica newoniana asegura que la variación de momento lineal viene dada por:

Si el sistema está formado por N partículas se tendrán N ecuaciones vectoriales de la forma Pi-Fi=Ri si se multiplica cada una de estas ecuaciones por un desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento existentes:

Donde el segundo término se anula, precisamente por escogerse el sistema de desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemáticamente compatible implica que el segundo término es un producto escalar nulo, asumiendo que la fuerza reactiva debido al vínculo es de potencia (virtual) nula. Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el principio de D'Alembert.